前言:

在高中的數學課程中，我認為數據分析是挺硬的一個章節。因為他的公式特別多，而且大多數的公式都是人為定義出來的。不像是三角比，只需要記憶$\sin ,\cos ,\tan$等的定義就可以推導出一個三角的系統。因此，我想做一個數據分析的學習筆記，利用前不久學會使用的$\LaTeX$（後發現此為markdown+mathjax）語法，將數據分析的公式記錄下來。
此外，數據分析是未來資訊科技的主流之一。未來資訊科技的主流之一為人工智慧，而人工智慧的原理正式統計學，也就是數據分析。最主要的目標就是從一堆雜亂的資料中找出最佳直線，能夠最大程度的提升準確率。
以下便是我整理的內容

一維數據分析

算術平均數

假設$n$個數字$x_1,x_2,x_3,…,x_n$
算術平均數$\mu=\cfrac{1}{n}(x_1+x_2+x_3+…+x_n)$

加權平均數

假設$n$個數字$x_1,x_2,x_3,…,x_n$，其中$x_i$對應到的加權為$w_i$
加權平均數$W=\cfrac{x_1w_1+x_2w_2+…+x_nw_n}{w_1+w_2+…+w_n}$

幾何平均數

假設$n$個數字$x_1,x_2,x_3,…,x_n$
幾何平均數$G=\sqrt[n]{x_1\times x_2\times x_3\times …\times x_n}$
應用:假設某物$n$年的成長率分別為$r_1,r_2,r_3,…r_n$，其平均成長率$x=\sqrt[n]{(1+r_1)\times (1+r_2)\times (1+r_3)\times …\times (1+r_n)}-1$
證明:假設平均成長率為$x$，過了$n$年後，其總成長率為$(1+x)^n=(1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)(1+r_4)$
經過化簡可得$x=\sqrt[n]{(1+r_1)\times (1+r_2)\times (1+r_3)\times …\times (1+r_n)}-1$

百分位數

第$m$百分位數$P_m;(1\le m\le 99)$:至少有$m%$的數據$\le P_m$，至少有$(100-m)%$的數據$\ge P_m$，
假設一筆升冪排序過後的資料有$n$個數據$x_1$~$x_n$
$I=n\times \cfrac{m}{100}$
$I\notin \mathbb{N},P_m=x_{\lceil I\rceil}$($\lceil I\rceil為>I$之最小整數)
$I\in\mathbb{N},P_m=ave(x_I,x_{I+1})$

數據的離散程度

設$n$個數據$x_1,x_2,…,x_n$，其算術平均數為$\mu$
全距:一堆數據中，最大值與最小值的差
離均差:$x_i$之離均差為$x_i-\mu$，$\displaystyle\sum^n_{i=1}(x_i-\mu)=0$
變異數$\sigma^2=ave(\displaystyle\sum^n_{i=1}(x_i-\mu))$
標準差$\sigma :;$離均差平方的平均之平方根(~~好饒舌~~)

數據的伸縮與平移

給定$n$個數據$x_1,x_2,x_3…,x_n$，其算術平均數為$\mu$，標準差$\sigma$
若$y_i=ax_i+b,$則$\mu_y=a\mu_x+b,\sigma_y=|a|\sigma_x$

標準化數據

將數據標準化後可得Z分數或是標準分數，可看出比原平均多/少幾個標準差
$Z_i=\cfrac{x_i-\mu}{\sigma}$
Z分數之特性
1.$\mu_z=0$
2.$\sigma_z=1$

二維數據分析

用以觀察兩種數據之間的關係
$i.e.$ 睡眠時數與罹患慢性病的比例

迴歸直線

最小平方法:尋找最小的殘差平方和
迴歸直線方程式
標準化數據:$y’=rx’,r:;$相關係數
未經標準化:$y-\overline{y}=m(x-\overline{x})$
$m=r\cdot\cfrac{\sigma_y}{\sigma_x}$
迴歸直線必過點$(\mu_x,\mu_y)=(\overline{x},\overline{y})$

迴歸直線公式整理

設$S_{xy}=\displaystyle\sum^n_{i=1}(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y),S_{xx}=\displaystyle\sum^n_{i=1}(x_i-\mu_x)^2$
$y’=rx’$
$y-\overline{y}=r\cdot\cfrac{\sigma_y}{\sigma_x}(x-\overline{x})$
$y-\overline{y}=\cfrac{S_{xy}}{S_{xx}}(x-\overline{x})$

數據分析學習筆記