前言:

這是一篇關於偏微分(partial differential)的學習筆記。說實話，我對於偏微分的理解還處於毛皮的階段，主要是為了科展的一些內容，才提前接觸這個領域。也花了不少時間思考，因此將它紀錄下來。

關於微分:

概念:

簡單講，微分就是取兩個極為相近，相差無限小的點。然後過那兩個點做一條直線。這就是一次微分的概念。在二微平面上進行微分會得到一條與二微平面上圖形相切的直線(關於斜率的部分等下會講到)，三維空間則是會得到一個與圖形相切的平面。

實踐:

林林總總一堆概念，那麼，微分到底要怎麼實做呢?由於我功力尚淺，因此只示範平面中二次函數的微分。

假設有一個二次方程式$f(x)=ax^2+bx+c, m=$斜率，則此方程式一次微分後會得到:$$2ax+b=m$$

證明:

首先，假設有一個二次函數$f(x)=ax^2+bx+c=0$，先取一個點$p(x,f(x))$，再取另一個點$\lim\limits_{h\to 0}q((x+h),f(x+h))$。此時，過這兩點直線方程式的斜率為$$\lim\limits_{h\to 0}\cfrac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-h}$$進行運算:$$\begin{split}&\lim\limits_{h\to 0}\cfrac{(a(x+h)^2+b(x+h)+c)-(ax^2+bx+c)}{h}\\=&\lim\limits_{h\to 0}\cfrac{a((x+h)^2-x^2)+b((x+h)-x)+(c-c)}{h}\\=&\lim\limits_{h\to 0}\cfrac{a((x+h)^2-x^2)+bh}{h}\\=&\lim\limits_{h\to 0}\cfrac{a((x+h)+x)((x+h)-h)}{h}+b\\=&\lim\limits_{h\to 0}\cfrac{a(2x+h)h}{h}+b=\lim\limits_{h\to 0}a(2x+h)+b=2ax+b\end{split}$$

其中，最後一步因為$h$無限逼近於0，因此可以直些忽略。在前面的步驟之所以不能這樣操作是因為在分母也有$h$，必須要先將分母的消除才可以。

關於偏微分

概念:

可以視為微分兩次的概念。我目前學習的偏微分旨在於查找一三維空間中圖型的頂點。我們知到，一頂點必與一個法向量為$(0,0,1)$的平面相切。此時，它還有另一個特性，若只看$x$方向或者是$y$方向，其切線斜率為零。因此，我們可以使用對$x$進行微分還有對$y$進行微分，並且使兩個值等於零。以此來找到一個三維空間中圖形的極值。

關於這部分，著實有些難搞。會在將來將這一部分補齊。